ইগো হলো “দ্বিমুখী গণিতের সাধারণ অভিযান” (Eulerian Graph). ইগো নিয়ে উক্তি হলো:”একটি গ্রাফে সমস্ত শৃঙ্গস্থান ডিগ্রি জোড় হলে তা ইগো বলে।”
এই উক্তিটির মাধ্যমে বোঝানো হয়েছে যে যখন একটি গ্রাফের সব নোডের ডিগ্রি (অর্থাৎ, একটি নোডের সাথে কতগুলি এজ সংযোজিত) সমস্ত জোড় হয়, তখন সেই গ্রাফটি ইগো হয়।
একটি ইগো গ্রাফের মধ্যে যেমন সমস্ত এজগুলি আছে, তেমনি সমস্ত নোড কেও প্রয়োজনে পেতে পারে, অর্থাৎ, ইগো গ্রাফের সমস্ত নোডের ডিগ্রি জোড়।
ইগো গ্রাফের একটি উদাহরণ হলো একটি সম্পূর্ণ একক কনেক্টেড ক্রিসমাস ট্রি যেখানে একটি রূপান্তরিত লাইট বালব থেকে অন্য করে সমস্ত লাইট বাল্বে সংযুক্ত আছে। ইগো প্রমাণ করে যে আপনি এই কনেক্টেড ক্রিসমাস ট্রি একটি ইগো গ্রাফ হবে, কারণ প্রত্যেকটি বাল্ব থেকে আপনি অন্য কোন বাল্বে যাত্রা করতে পারেন এবং একই বাল্ব বা যাত্রাগামী বাল্বে ফিরতে পারেন।
ইগো গ্রাফের মধ্যে কিছু গুরুত্বপূর্ণ সুলভভাবে সনাক্ত করা যেতে পারে, যেমন ইগো গ্রাফে পথ নিয়ে সম্পর্কিত প্রশ্ন সমাধানে কাজে লাগতে পারে।
সুতরাং, ইগো একটি গ্রাফ যা সমস্ত নোডের সাথে সমস্ত এজ জোড় করে, তার উপর ভিত্তি করে বিশেষ ধরনের গণিতীয় সমস্যা সমাধান করা যেতে পারে।
ইগো নিয়ে উক্তি ১০ টি
ইগো নিয়ে একাধিক উক্তি নিম্নলিখিত:
১. একটি গ্রাফের সমস্ত শৃঙ্গস্থান ডিগ্রি জোড় হলে তা ইগো বলে।
২. ইগো গ্রাফে একটি পথ শুরু এবং শেষ একই নোডের সাথে হতে হবে।
৩. ইগো গ্রাফে প্রতিটি এজ অনুসরণ করার সময় প্রতিটি নোড যত সময় প্রয়োজন ততবার পাশে যাওয়া উচিত।
৪. ইগো গ্রাফে প্রতিটি নোডের সাথে সমস্ত এজ সংযোজিত থাকা প্রয়োজন নেই।
৫. ইগো গ্রাফে প্রতিটি নোডের সাথে সমস্ত এজ সংখ্যা জোড় হতে হবে।
৬. সমস্ত ইগো গ্রাফ একটি কনেক্টেড কম্পোনেন্ট হতে হবে, অর্থাৎ প্রত্যেকটি নোড অন্তত একটি অন্য নোডের সাথে সংযুক্ত থাকতে হবে।
৭. ইগো গ্রাফে সমস্ত নোডের “ইনডিগ্রি” (in-degree) সমান হলে সমস্ত নোডের “আউটডিগ্রি” (out-degree) ও সমান হবে, এবং ভাবিতে সমস্ত নোড থেকে সমান সংখ্যক এজ যাওয়া প্রয়োজন থাকবে।
৮. ইগো গ্রাফে সমস্ত নোডের “আউটডিগ্রি” (out-degree) সমান হলে সমস্ত নোডের “ইনডিগ্রি” (in-degree) ও সমান হবে, এবং ভাবিতে সমস্ত নোডে প্রয়োজন হবে সমান সংখ্যক এজ এসে থাকা।

৯. একটি গ্রাফ ইগো হওয়ার জন্য অবশ্যই না, একটি ইগো সার্কিট (Eulerian Circuit) অথবা ইগো পথ (Eulerian Path) অবশ্যই থাকতে হবে।
১০. একটি ইগো সার্কিট (Eulerian Circuit) পেতে সমস্ত নোডের ডিগ্রি জোড় হতে হবে, অর্থাৎ প্রত্যেকটি নোডের ইনডিগ্রি এবং আউটডিগ্রি সমান হবে।
এই উক্তিগুলি দেওয়ার মাধ্যমে ইগো গ্রাফ এবং এর মূল্যবান গুনগুলি সম্পর্কে অনেক ধারণা প্রাপ্ত করা যায়।
ইগো নিয়ে কবিতা
স্বপ্নে একটি ইগো গ্রাফ দেখি,
অজানা রাস্তায় ভ্রমণ করতে শুরু করি।
প্রতিটি নোডের সাথে এজ সংযুক্ত,
বিশ্বের সৃষ্টি এত মহান সংগঠিত।
এজের স্পর্শে সারাবেলা গর্ভিত,
এতক্ষণ পথে চলতে যাওয়া দিকে হাঁটিত।
প্রতিটি বৃত্তে সমান সংখ্যক এজের প্রয়াস,
ইগোর মহিমা অত্যন্ত রহস্যময়।
সার্কিট বা পথে চলতে সময়,
সমস্ত নোডের ডিগ্রি সমান করে সাজিয়ে।
ইগো গ্রাফ বেঁধে তুলে মনটা,
এত রহস্যময় কিছু নায়ক-গল্প লুপ্ত।
শুরু হলো বৃত্তের সার্কিটে,
সময় সার্থক, মন উড়াই উড়াই ফিরে।
অজানা রাস্তায় ভ্রমণের মজাই,
ইগোর প্রেমে মগন হয়ে যাই।
ইগোর রহস্যময় গুন গোপন,
সময়ের গভীরে খোলবো প্রাণ।
ইগোর সন্ধান আমার জীবন,
চলো ভ্রমণ করি অজানা স্পর্শে বিশ্বমান।
ইগো নিয়ে কিছু কথা
ইগো হলো “দ্বিমুখী গণিতের সাধারণ অভিযান” (Eulerian Graph)। ইগোর গ্রাফে প্রতিটি নোডের সাথে সমস্ত এজ সংযুক্ত থাকা প্রয়োজন নেই এবং প্রতিটি এজের প্রয়াস সমান হতে হবে। এই গ্রাফে প্রতিটি এজের স্পর্শে একটি সমস্ত নোড যতবার প্রয়োজন ততবার পাশে যাওয়া উচিত।
ইগো গ্রাফ সম্পর্কে কিছু মুখ্য তথ্য এঁকে উঠা যাক:
১. ইগো গ্রাফের সমস্ত নোডের ইনডিগ্রি (in-degree) সমস্ত নোডের আউটডিগ্রি (out-degree) সমান হবে। অর্থাৎ, একটি নোডে প্রবেশ করার সমান সংখ্যক এজ থাকতে হবে যতগুলি প্রস্থ হতে সেই নোড থেকে।
২. ইগো গ্রাফে যেকোনো সংখ্যক নোড এবং এজের জন্য সম্প্রসারণ (Eulerian Circuit) বা সম্প্রসারণের অভিযান (Eulerian Path) সম্ভব। সম্প্রসারণ হলো এমন একটি পথ যাতে প্রতিটি এজ একবারই দেখা হয় এবং সম্প্রসারণের অভিযান হলো সম্প্রসারণের পথ যাতে প্রতিটি এজ একবারই দেখা হয় কিন্তু শুরু এবং শেষ একই নোডে নেই।
৩. ইগো গ্রাফের একটি কোম্পোনেন্ট অথবা অবিরাম সংযোগসমূহের একটি সেট বেঁধে তোলে, সেটটি একটি কনেক্টেড কোম্পোনেন্ট হবে, অর্থাৎ প্রত্যেকটি নোড অন্তত একটি অন্য নোডের সাথে সংযুক্ত থাকতে হবে।
ইগো গ্রাফ সম্পর্কে আরও বৃহত্তর অনুশীলন সম্পর্কে ভালোভাবে জানার জন্য, গণিতের গবেষকদের লেখা বই, এবং সম্প্রসারণের সম্পর্কে মহান গণিতবিদের কাজগুলি পড়া বা দেখা উপযুক্ত হতে পারে। ইগো সম্পর্কে অধিক ধারণা পেতে আপনি মডেলের জ্ঞানকে স্পষ্ট করার জন্য এটির মূল্যবান গুনগুলি দেখতে পারেন।